RANDOM FATIGUE

Beispiel für die Anregung eines Feder-Masse-Systems auf einer angeregten Platte

 

In vielen Bereichen der Technik treten regellose Belastungen auf, die jedoch mit Hilfe statistischer Analysen beschrieben werden können, da gewisse Regelmäßigkeiten auftreten.

So zeigten Untersuchungen an Flugzeugen, Schiffen oder Straßenfahrzeugen, dass die Anregung bei bestimmten Frequenzen besondere Intensitäten aufweisen und dass eine Möglichkeit zur Beschreibung mit Hilfe des Leistungsdichtespektrums erfolgen kann.  Mit Hilfe der Finite Elemente Methode ist es vergleichsweise einfach möglich, das Verhalten von Strukturen unter Anregung durch ein Leistungsdichtespektrum zu bestimmen.

Es bietet sich daher eine vergleichsweise einfach durchzuführende Strukturanalyse an, die gegenüber der statischen Analyse den entscheidenden Vorteil hat, dass die dynamischen Systemeigenschaften in Relation zu den anregenden Frequenzen Berücksichtigung finden.

Der einfachste Fall einer stochastischen Anregung nur in einer Richtung soll hier zunächst beschrieben werden. Gleichzeitige Anregungen in mehreren Richtungen laufen prinzipiell ähnlich ab und werden anschließend behandelt.

Ein Beispiel für eine typische Darstellung zeigt das Bild oben. Dort ist die Leistungsdichte (Power Spectrum Density) einer Systemanregung xin  (z.B. Anregung eines Schwingtisches, input) und einer Systemantwort der Beschleunigung (Bewegung eines Punktes der gemessenen Struktur, response) in g²/Hz über der Frequenz dargestellt. In der Realität ist statt einer Punktmasse die zu prüfende Struktur auf einem Prüftisch befestigt.

Reale Strukturen haben - im Gegensatz zu einer Punktmasse - eine Vielzahl von Punkten mit unterschiedlichen Bewegungen und für jeden  lässt sich ein Leistungsdichtespektrum der Beschleunigung messen und auch berechnen. Auch die auftretenden Spannungen lassen sich für jeden Punkt als PSD darstellen, auf deren Basis sich eine Lebensdauerberechnung durchführen lässt.

Das praktische Vorgehen der Lebensdauerberechnung ist in dem folgenden Ablaufschema dargestellt. Dabei wird angenommen, dass das zu untersuchende Bauteil auf einem Schütteltisch, der als Starrkörper angenommen wird, angeordnet ist.

Schematischer Ablauf der Lebensdaueranalyse unter stochastischer Belastung

Experimentelles Vorgehen

Eine experimentelle Vorgehensweise verwendet z.B. einen Schwingtisch, auf dem die zu prüfende Struktur befestigt ist. Für den Schwingtisch wird ein Leistungsdichtespektrum als Anregung vorgegeben und das damit verbundene Bauteil wird nun an seinen Berührpunkten mit dem Schwingtisch entsprechend beschleunigt.
In Normen für den Schiffbau, Flugzeugbau oder elektronische Bauteile sind derartige Leistungsdichtespektren zu finden, auf deren Basis wichtige Prüfverfahren definiert werden, die das Bauteil ohne Schaden überstehen muß.

Man kann natürlich auch das Bauteil bis zum Defekt prüfen und erhält  damit ein experiementelles Ergebnis für die Lebensdauer. Üblicherweise wird das Bauteil aber nicht bis zum Defekt gefahren sondern lediglich der erfolgreiche Nachweis der Betriebsfestigkeit durch Bestehen des Tests ohne Schaden erbracht. Um eine Einschätzung der Sicherheit zu gewinnen, wird oftmals der „Lebensdauerverbrauch“ bei diesem Test berechnet. Dazu werden an den gefährdeten Stellen die Dehnungen gemessen und diese Daten für eine Lebensdauerberechnung verwendet. Die gemessenen Verläufe der Dehnung über der Zeit oder aber das Leistungsdichtespektrum der gemessenen Dehnung (Spannung) ist die Basis für eine Lebensdauerberechnung.

Rechnerisches Vorgehen

Die experimentelle Vorgehensweise läßt sich vollständig durch Berechnungsverfahren ersetzen. Dazu wird ein FE-Modell der Struktur zu erstellet und die Anregung durch die Beschleunigung rechnerisch simuliert. Die Vorgabe der Beschleunigung – in gleicher Weise wie beim experimentellen Vorgehen – erfolgt auch durch das Leistungsdichtespektrum der Beschleunigung in g2/Hz.

Für das System werden dabei die Eigenfrequenzen und Eigenformen berechnet. Sie stellen wichtige Zwischenergebnisse dar, die eine Plausibilitätskontrolle ermöglichen. Wichtig ist, dass alle Massen und Steifigkeiten korrekt angegeben werden.

Als Ergebnis erhält man dann für jeden Knoten der FE-Struktur die RMS-Werte der Spannungen für einen bestimmten Frequenzbereich und kann basierend darauf das Leistungsdichtespektrum der Spannungen in MPa2/Hz bestimmen.

Aus dem Leistungsdichtespektrum der Spannungen kann nun für jeden Knoten eine Häufigkeitverteilung der Spannungsamplituden berechnet werden, die dann als Basis für eine Lebensdauerberechnung verwendet wird (s. Ablaufplan oben).

Chrakteristische Kenngrößen eines dynamischen Systems

Eine sehr wichtige elementare Kenngröße ist der Effektivwert oder auch RMS-Wert (=Root Mean Square) genannt, der folgendermaßen definiert ist:

 

Man kann die stochastischen Kenngrößen auf die Freuqenz f in der Einheit Hz oder die Kreisfrequenz  in der Einheit 1/sec ziehen. Der Zusammenhang zwischen Kreisfrequenz und Frequenz ist gegeben durch:

 

Das Quadrat des Effektivwertes entspricht der Fläche unterhalb der Leistungsdichte-Kurve. Weitere wichtige Kenngrößen für das Schwingungsverhalten sind durch die Momente der spekralen Dichte gegeben (s. Bild).

Zur Bestimmung muß das Flächenelement Ø(f)df  mit dem „Hebelarm“ fn multipliziert werden.  Für das Moment Hn nullter Ordnung ist n=0, erster Ordnung n=1 , u.s.w. bis n=4.

Entscheidend ist nun, dass diese Momente H0,H1,H2,H3,H4  die Bestimmung folgender wichtiger  Charakterisitika ermöglichen:

  • Effektivwert wie bereits erwähnt
  • Anzahl der Nulldurchgänge pro Sekunde
  • Anzahl der Spitzenwerte pro Sekunde (entspricht der Schwingspielzahl pro Sekunde)
  • Unregelmäßigkeitsfaktor I
Leistungsdichtespektrum der Spannung und wichtige Kenngrößen des Prozesses auf der Basis der spektralen Momente

 

Eine Einteilung des dynamischen Systemverhaltens durch den Unregelmäßigkeitsfaktor ist möglich und es werden die im Bild dargestellten folgenden vier Fälle unterschieden.

Einteilung des Systemverhaltens an Hand des Unregelmäßigkeitsfaktors I

 

Unter der Voraussetzung, dass es sich um ein stochastisches, stationäres und ergodisches  Systemverhalten handelt, kann in Abhängigkeit von dem Unregelmäßigkeitsfaktor das geeignete Verfahren zur Berechnung des Amplitudenkollektivs gewählt werden.

Sinus-Verlauf mit konstanter Amplitude und Frequenz (I=1)

Hierbei handelt sich um keinen stochastischen Prozess, so dass die folgend  beschriebenen Methoden der Kollektivgenerierung ungeeignet sind. Sattdessen liegt ein deterministisches Verhalten vor und es kann auf einfache Weise ein Einstufenkollektiv bestimmt werden.

Schmalband-Prozess (I~1)

Die Berechnung der Verteilung erfolgt nach folgender Gleichung:

 

 

Dabei bedeutet S die Schwingweite also die doppelte Amplitude. Der Index NB steht für Narrow-Band.

 

Breitband-Prozess (0<I<1)

Die Berechnung der Verteilung erfolgt nach Dirlik [  ] entsprechend  folgender Gleichung:

 

mit

Z =             I =                 

Dabei bedeutet S die Schwingweite also die doppelte Amplitude.

Ablauf der rechnerischen Analyse

Vorgabe der Anregung für den Schwingtisch:

Berechnung der Eigenformen und Eigenfrequenzen des Systems (Modalanalyse) mit Hilfe FEM

Berechnung der Systemantwort (Leistungsdichtespektrum der Spannung für jeden Knoten)  

Bestimmung eines schädigungsgleichen Kollektivs

Durchführung der Lebensdauerberechnung

Ein Beispiel mit FEMAP zeigt das Vorgehen im Detail.